Wenn man bei der Funktion y = f(x) = 1/x den x-Wert stets größer werden lässt, so kommt y der (Zahl) Null beliebig nahe.

Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge (a_n) reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen "schließlich allen" Folgegliedern und a beliebig klein wird.

| a_n - a | < ε für alle n>N gilt, dann heißt die Folge (a_n) konvergent und zwar gegen den Grenzwert a. Kurz:

Man beachte, dass der Index N von ε abhängen darf. Um also z. B. zu beweisen, dass die Folge (1/n) gegen 0 konvergiert, wählt man zu vorgegebenem ε als N z. B. die kleinste natürliche Zahl, die größer als 1/ε ist. Daher gilt für alle n>N:

Die erste Ungleichung folgt dabei aus n>N (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus N > 1 / ε.

• Die konstante Folge (b_n) mit b_n=1 ist konvergent gegen 1.
• Die Folge (c_n) mit (c_n)=1/n konvergiert gegen 0 und wird Nullfolge genannt.
• Die Folge (e_n) mit e_n=(1+1/n)ⁿ ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e.
• Die Folge (c_n) mit c_n=(-1)ⁿ ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade n.

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reelle Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt sich reibungslos. Siehe Konvergenz.